孤独的自行车(小学奥数专题博客)

叮当  8:32:06
17个人互相通信，讨论3个专题，每两个人间通信只讨论一个专题。至少有几个人，他们之间讨论的是同一个专题？

分析与解答：

这是一道染色问题。

我们先用A1，A2，A3...，A16，A17表示这17个人，假如两人之间讨论的是第一个问题，那么我们就用红线连接这两点，若两人讨论的是第二个问题，那么我们就用蓝线连接这两点，若两人讨论的是第三个问题我们就用黄线连接这两点。

现在我们先以A1点为起点，可以连出A1A2，A1A3，...，A1A17共16条线段，由抽屉原理我们可以知道至少有6条线段同色，我们现在来假设A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A1A7这6条线段为红色，现在由于连接A2，A3，A4，A5，A6，A7点中的每点可以再连接15条线段，如果这些线段中有一条线段是红色，那么就至少有3人是讨论同一专题，如果里面没有任一条线段是红色，那么15条线段都是蓝色或黄色，而我们可以证明空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用黄色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）。无论怎样染,总存在同色三角形。所以也必有三人是讨论同一专题。

所以17个人互相通信，讨论3个专题，每两个人间通信只讨论一个专题。至少有3个人，他们之间讨论的是同一个专题。

附：空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用黄色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）。无论怎样染,总存在同色三角形的证明。

证明：我们设A，B，C，D，E，F为所给的六个点，以A为端点可以连AB，AC，AD，AE，AF五条线段，由抽屉原理我们可以知道这5个点在6至少有3个点颜色相同，我们现在假设AB，AC，AD为黄色，再看三角形BDC，如果有一条线段是黄色，那么就可以与AB，AC，AD里的任两条线段组成黄色三角形，如果没有黄色，那么三角形BDC就是蓝色三角形。也就是说不论在什么情况下都可以组成同色三角形。